Matematika Pecahan

Operasi Hitung dalam Pecahan

Operasi hitung dalam pecahan, yaitu penjumlahan dan pengurangan, perkalian, dan pembagian.

a. Penjumlahan

Sifat-sifat penjumlahan dalam pada pecahan, yaitu:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}={\frac {a+c}{b}}$
${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}$

Contoh penerapannya, yaitu:

${\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {2+3}{7}}={\frac {5}{7}}$
${\frac {2}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 4}{3\cdot 5}}={\frac {10+12}{15}}={\frac {22}{15}}=1{\frac {7}{15}}$ (Hasil ${22 \over 15}$ langsung disederhanakan dengan cara mengubahnya menjadi pecahan campuran).

b. Pengurangan

Sifat-sifat pengurangan dalam pecahan, yaitu:

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{b}}={\frac {a-c}{b}}$
${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}}$

Contoh penerapannya, yaitu:

${\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}={\frac {3-2}{7}}={\frac {1}{7}}$
${\frac {4}{5}}-{\frac {2}{3}}={\frac {4\cdot 3-2\cdot 5}{5\cdot 3}}={\frac {12-10}{15}}={\frac {2}{15}}{\frac {2}{15}}$

c. Perkalian

Sifat-sifat perkalian dalam pecahan, yaitu:

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}$
$a\times {\frac {b}{c}}={\frac {a\times b}{c}}$
${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Leftrightarrow {\frac {b\times c}{a\times d}}$

Contoh penerapannya, yaitu:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{7}}={\frac {2\times 5}{3\times 7}}={\frac {10}{21}}$
$2\times {\frac {3}{5}}={\frac {2\times 3}{5}}={\frac {6}{5}}=1{\frac {1}{5}}$
${\frac {2}{3}}={\frac {5}{6}}\Leftrightarrow {\frac {3\times 5}{2\times 6}}={\frac {15}{12}}=1{\frac {3}{12}}$

d. Pembagian

Sifat-sifat pembagian dalam pecahan, yaitu:

$perkalian pecahan$
$perkalian pecahan$

Contoh penerapan, yaitu $perkalian pecahan$ atau $perkalian pecahan$

Rumus Perkalian Pecahan

Kalau kalian sudah paham dengan penjelasan mengenai pecahan di atas, sekarang kita akan melanjutkannya dengan menjelaskan tiga rumus perkalian pecahan.

1. Rumus Perkalian Pecahan Biasa

Rumus ini adalah rumus perkalian pecahan yang paling dasar, yakni untuk menghitung perkalian antar pecahan bentuk biasa. Rumusnya sebagai berikut:

Coba lihat rumus di atas! Kalian hanya perlu mengalikan sesama angka pembilang dan mengalikan sesama angka penyebut dalam rumus perkalian pecahan bentuk dasar. Contoh soalnya sebagai berikut.

3/4 x 1/2

Langkah yang harus kalian lakukan adalah mengalikan angka 3 dan 1 sebagai sesama pembilang, serta mengalikan angka 4 dan 2 sebagai sesama penyebut. Penyelesaiannya sebagai berikut.

3/4 x 1/2 = 3/8

Bukankah sangat mudah, Sahabat Gramedia? Nah, sekarang kita akan lanjut ke rumus yang kedua.

2. Rumus Perkalian Pecahan Biasa dengan Bilangan Bulat

Nah, sekarang kita akan membahas rumus perkalian pecahan level selanjutnya, yakni perkalian antara bilangan pecahan dengan bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan yang nilainya bulat dan tidak berbentuk pecahan, yakni bilangan-bilangan yang selama ini lazim ditemui, misalnya 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.

Kamu hanya perlu mengkalikan angka pembilang dalam perkalian antara bilangan bulat dan pecahan. Rumusnya sebagai berikut.

Kira-kira, apakah Sahabat Gramedia tahu faktor yang menyebabkan kita hanya mengalikan angka pembilang dan alasan angka penyebutnya bernilai tetap?

Jawabannya, apabila bilangan bulat diubah menjadi pecahan, angka penyebutnya adalah 1, misalnya kalian akan mengubah angka 2 menjadi pecahan, bentuk pecahannya adalah 2/1.

Nah, sekarang kalian harus mengingat kembali logika aritmetika dasar. Angka apa saja yang dikalikan dengan angka 1 nilainya akan tetap sama. Oleh karena itu, kita tidak perlu mengubah bilangan bulat menjadi pecahan dan hanya mengalikan pembilangnya saja dalam rumus ini.

Apakah Sahabat Gramedia masih tetap bingung? Berikut akan kami berikan contoh soal di bawah ini agar kalian dapat lebih memahaminya.

5/4 x 3

Jika kita ubah bilangan bulat 3 menjadi pecahan, bentuk pecahannya akan menjadi 3/1. Sekarang, kita susun bilangan-bilangan tersebut dalam rumus perkalian yang sudah kita pelajari sebelumnya.

5/4 x 3/1 = 15/4

Sesuai rumus perkalian pecahan dasar, kalian harus mengalikan sesama bilangan pembilang dan penyebut. Oleh karena itu, kalian harus mengalikan angka 5 dan 3, sehingga mendapatkan angka 15. Sementara itu, jika kita mengalikan 4 dan 1, hasil yang didapatkan adalah 4. Seperti yang telah kamu jelaskan sebelumnya, angka apa saja yang dikalikan dengan 1 nilainya akan tetap.

Jadi, untuk mempermudah perhitungan, jika kalian bertemu perkalian antara pecahan dan bilangan bulat, yang dikalikan hanyalah angka pembilangnya saja.

3. Rumus Perkalian Pecahan Campuran

Rumus perkalian pecahan yang terakhir digunakan untuk mengalikan sesama bilangan pecahan campuran. Ingat, pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri atas bilangan bulat dan pecahan tidak murni. Perkalian pecahan campuran sebenarnya mudah dan memiliki konsep yang sama dengan perkalian pecahan dasar. Namun, pecahan campuran harus disederhanakan dan diubah terlebih dahulu menjadi bentuk pecahan biasa.

Berikut akan kami berikan contoh soal di bawah ini agar kalian dapat lebih memahaminya.

1 ½ x 2 ¼

Langkah pertama yang harus kalian lakukan adalah mengubah masing-masing pecahan campuran menjadi pecahan biasa. Rumus mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa sebagai berikut.

Untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, yang harus kalian lakukan adalah mengalikan bilangan bulat dengan penyebut, kemudian hasilnya ditambah pembilang. Jika diterapkan dalam soal, dapat dijelaskan sebagai berikut.

1 ½ x 2 ¼
= 3/2 x 9/4

Nah, jika sudah diubah menjadi pecahan biasa, kalian tinggal mengalikan kedua pecahan sesuai rumus perkalian pecahan dasar, yakni mengalikan sesama pembilang dan penyebut. Penyelesaiannya sebagai berikut.

3/2 x 9/4
= 27/8

Jadi, hasil dari perkalian campuran 1 ½ dan 2 ¼ adalah 27/8. Ingat ya, kalian masih harus menyederhanakan hasil di atas karena masih berbentuk pecahan tidak murni!

Contoh Soal Perkalian Pecahan dan Jawabannya

1. Latihan Pertama

Bagian berikut akan menjelaskan pembahasan dan jawaban soal perkalian bilangan dua pecahan campuran dalam buku berjudul Matematika Kelas 5 SD/MI yang merupakan karya dari Purnomosidi, Wiyanto, Safiroh, dan Ida Gantiny.

1. 2 2/3 x 5 =
= 8/3 x 5
= (8 x 5)/3
= 40/3
= 13 1/3

2. 1 4/5 x 2 =
= 9/5 x 2
= (9 x 2)/5
= 18/5
= 3 3/5

3. 2 5/8 x 6
= 21/8 x 6
= (21 x 6)/8
= 126/8
= 15 6/8
= 15 3/4

4. 1 5/7 x 4 =
= 12/7 x 4
= (12 x 4)/7
= 48/7
= 6 6/7

5. 1 7/9 x 2 =
= 16/9 x 2
= (16 x 2)/9
= 32/9
= 3 5/9

6. 5 x 1 3/7 =
= 5 x 10/7
= 50/7
= 7 1/7

7. 6 x 1 9/10 =
= 6 x 19/10
= 114/10
= 11 4/10

8. 12 x 1 4/9 =
= 12 x 13/9
= 156/9
= 17 3/9
= 17 1/3

9. 100 x 1 2/3 =
= 100 x 5/3
= 500/3
= 166 2/3

10. 2 2/3 x 1/6 =
= 8/3 x 1/6
= (8 x 1)/(3 x 6)
= 8/18
= 4/9

11. 2 4/5 x 1/8 =
= 14/5 x 1/8
= (14 x 1)/(5 x 8)
= 14/40
= 7/20

12. 1 2/7 x 2/5 =
= 9/7 x 2/5
= (9 x 2)/(7 x 5)
= 18/35